matriks

Matriks

A.    Pengertian

Matrik ialah susunan bilangan atau variabel yang diatur dalam beberapa baris atau kolom, berbentuk empat persegi panjang dan dibatasi kurung biasa atau kurung siku.

Jadi matriks adalah penyajian data dalam beberapa baris atau kolom. Setiap matriks diberi nama dengan huruf kapital yang dipertebal dan diberi dimensi (orde). Dimensi matriks ditentukan   oleh banyaknya baris (misalkan m baris) dan kolom (misalkan n kolom), sehingga dimensi matriks ini ditulis dengan notasi m x n dan ini berarti matriks ini mempunyai m kali elemen (anggota).

Contoh notasi matriks

   Amxn =

Tiap elemen dalam matriks ditentukan oleh 2 angka index, index pertama menunjukan nomer baris dan index kedua menunjukkan nomer kolom, misalnya elemen  adalah elemen matriks A yang terletak dibaris ketiga kolom ke-empat. Jika elemen , angka index i = j, maka elemen ini disebut elemen diagonal, yakni elemen :  , , ,  dst.

Notasi matriks dapat juga dinyatakan dengan  = (aij) dimana i = 1, 2, 3, … m dan j = 1, 2, 3, ……..n. jika m = n maka matriks ini disebut matriks bujur sangkar (square matriks).

Contoh matriks :

  =  dan =  B2x3 =  2x3 =

Matriks A diatas adalah matriks bujur sangkar dimensi 3 x 3 dan B berdimensi 3 x 2. Tiap matriks dapat di-transpose yakni dengan mengubah letak elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya.

B.     Jenis-jenis matriks

a)      Matriks baris (disebut juga vektor baris) : hanya terdiri dari satu baris, beberapa kolom.

b)      Matriks kolom (disebut juga vector kolom)  : hanya terdiri dari satu kolom, beberapa baris.

c)      Matriks nol : semua elemnya nol

d)     Matriks bujur sangkar : banyaknya baris = banyaknya kolom, seperti contoh matriks A diatas.

e)      Transpose matriks : yakni suatu matriks yang diubah dengan cara mempertukarkan elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya.

f)       Negative suatu matriks : yakni suatu matriks yang semua elemenya dikalikan

 -1.

g)      Matriks diagonal : yakni matriks bujur sangkar yang semua elemennya nol, kecuali elemen diagonal, contoh :

=

h)      Matriks skalar : ialah matriks diagonal yang semua elemen diagonal adalah sama misalkan = 5.

i)        Matriks satuan( identity matriks) : ialah matriks diagonal yang semua elemen diagonal sama = 1. Nama matriks ini biasa dinyatakan dengan I

=

j)        matriks simetris : adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat bahwa transposenya matriks semul, yakni  = A; elemen  = elemen , misalnya

=     = A

k)      matriks silang (skew matriks) : adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat bahwa transpose-nya = negatife matriks semula, yakni   = -A ; elemen  = negatife elemen  dan karena elemen diagonalnya = 0 misalnya

 =     

l)        matriks singular : adalah matriks bujur sangkar yang determinannya = 0 dan matriks ini tidak mampunyai invers.

m)    Matriks Non-singular : adalah matriks bujur sangkar yang determinannya tidak 0 dan matriks ini mempunyai invers

n)      Invers matriks : diperoleh dengan cara tertentu dari suatu matriks Non-singular. Jika A adalah matriks Non-singular, maka invers A ditulis dengan notasi  (baca invers A). hasil kali A dengan inversnya = matriks satuan I.

o)      Matriks idenpoten : ialah matriks bujur sangkar yang kuadratnya = matriks semula, yakni  atau invers A = A ,misalnya

A=

p)      Matriks nilpotent : ialah matriks bujur sangkar yang kuadrat-nya = matriks Nol, yakni , misalnya :

A =

q)      Matriks orthogonal : ialah matriks bujursangkar yang kuadrat-nya = matriks satuan I, yakni  I dan inversnya = matriks semula, misalnya :

A = = A x A = I atau

r)       Matriks triangular : ialah matriks bujur sangkar yang semua elemen disebelah kanan atau kiri bawah elemen diagonal = nol, misalnya :

s)       Minor matriks : ialah matriks yang diproleh sari suatu matriks bujursangkar dengan menghapus satu baris dan satu kolom; misalnya dari matriks berdimensi 3 x 3 dapat diperoleh 9 minor matriks. Minor suatu matriks diberi notasi dengan dua angka index, index pertama dari nomer baris dan index kedua adalah nomor kolom dari elemen matriks baris dan kolom yang dihapus, misalnya

C.     Opersai matriks

Operasi jumlah dan selisih dua matriks hanya dapat dilakukan kalau dua matriks ini berdimensi sama yakni dengan menjumlahkan atau memperkurangkan dua elemen yang sesuai letaknya.

Jika A = (  +

Setiap matriks dapat dikalikan dengan sembarang bilangan p, yakni dengan mengalikan semua elemen matriks ini dengan p.

Sedangkan perkalian antara dua matriks A dan B hanya dapat dilakukan,  kalau banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B, yakni  Tiap elemen dari c, misalkan  diperoleh dari jumlah hasil kali elemen baris ke-I dari A dengan elemen kolom j dri B.

Perkalian matriks tidak komutatif, yakni A x B  B x A, bahkan walaupun A bisa dikalikan dengan B belum tentu B bisa dikalikan dengan A, kecuali pada perkalian antara matriks A dengan inversnya, yakni  A x  x A = I (matriks satuan).

Perpangkatan matriks  dimana n = 2, 3, 4 dst.nya hanya dapat dilakukan kalau A adalah matriks bujursangkar dan hasil perpangkatan matriks ini elemen-elemennya bukan perpangkatan dari elemen-elemen A, kecuali kalau A adalah matriks diagonal.

Contoh : kalau diketahui matriks:

Maka :

1). A + B =

2). A – B =

3).

(hasil kali adalah matriks dimensi 3 x 2 )

4).  = A x A =

Ada berbagai hasil opersi matriks yang perlu diketahui keistimewaannya, yakni :

·         Kalau A sembarang matriks bujursangkar dan A’ adalah transpose A, maka : A + A’ = matriks SIMETRIS

A – A’ = matriks SIMETRIS

·         Kalau A adalah sembarang matriks ( tidak perlu bunjur sangkar ) dan A’ adalah transpose A, maka : A x A’ = matriks SIMETRIS

·         Dalam perkalian matriks A x B bisa terjadi hasilnya adalah matriks NOL, walaupun A atau B bukan matriks NOL; demikian pula pada

A x B = C x B tetapi A dan C bukan matriks yang SAMA, misalnya

1).

2).  

3).

D.    Kegunaan matriks

·         Untuk menyajikan data agar lebih mudah dihitung

·         Memudahkan pembuatan analisa tentang hubungan antara variable-variabel dan mengolah nilai variable-variabel ini dalam persamaan matriks.

·         Untuk menyelesaikan masalah multiple regression, linear programming dan masalah lainnya dalam riset operastional.

·         Untuk menyelesaikan persamaan lineran yang simultan.

·         Dapat dipakai untuk memanipulasi tampilan data agar dapat dirahasiakan sehingga data asli disalahgunakan oleh pihak lain

E.     Determinan

Determinan ialah harga yang diperoleh dari matriks bujursangkar A yang dinyatakan dengan notasi | A | yang dihitung dengan aturan tertentu, yang harganya bisa positif, Nola tau negatife. Matriks yang tidak bujursangkar tidak ada perhitungan determinannya.

1). Untuk matriks 2 x 2 harga determinan dihitung sebagai berikut : 

A =

2). Determinan dari matriks 3 x 3 dihitung dengan aturan SARRUS, yakni dengan cara menempatkan dua kolom pertama dari determinan 3 x 3, lalu harga determinan ini adalah jumlah hasil kali elemen pada tiap diagonal dari kiri keatas kekanan kebawah dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen pada tiap diagonal dari kiri bawah kekanan atas.

     Cara sarrus ini hanya dipakai pada determinan 3 x 3 ;

     Contoh :

     A =

            (2x8x1 + 5x4x6 + 0x3x7) – (6x8x0 + 7x4x2 + 1x3x5) == 136 – 71 = 65

3). Untuk determinan matriks yang dimensi 4x4 atau lebih digunakan cara LA PLACE atau cara CHI’OS :

     a. cara la place : hara determinan dihitung berdasarkan penguraian elemen suatu baris atau suatu kolom, sebaliknya dipilih pada baris atau kolom yang elemnya banyak bernilai NOL, dengan cara mengurangi semua elemen satu baris atau kolom dengan kelipatan elemen baris atau kolom lainnya, nilai determinan berdemensi n x n,jika dihitung dengan penguraian elemen baris pertama adalah :

     adalah kofaktor dari elemen  dan  =  sedangkan  adalah minor matriks dari elemen .

                 Contoh : hitunglah determinan dari matriks berikut :

     A =

Harga determinan ini dapat dihitung melalui penguraian berdasarkan elemen kolom ketiga(bisa juga melalui baris pertamatau kolom kedua atau baris keempat),tetapi sebelumya elemen =2 dan diubah dulu menjadi nol melalui cara:

-           Semua elemen baris kedua dikurangi dua kali baris ketiga dan

-          Semua elemen baris kempat dikurangi lima kali baris ketiga

Dengan cara ini nilai determinan semula tidak akan berubah(sesuai dengan sifat determinan)akibat perubahan ini,maka determinan A menjadi:

 =  = .

Karena elemen

.

Kolom 3

 b. cara CHI’OS, metode ini dilakukan sebagai berikut :

1. dihitung melalui elemen baris pertama dengan syarat elemen  semua elemen baris berikutnya yang

2. disusun determinan 2 x 2 sebanyak  dengan syarat semua elemen baris pertama determinan 2 x 2 ini harus mengandung elemen baris pertama yang sama dimulai dengan elemen

3. harga determinan ini dapat dibagi dengan  dimana n adalah banyaknya baris/kolom matriks.

(n dari determinan ini = 4; setelah satu proses menjadi det. 3 x 3

=  =    

=  =82

1.sifat sifat determinan

1harga suatu determinan tidak akan berubah walaupun semua elemen satu baris(kolom)ditambah atau dikurangi dengan k dikali semua elemen baris(kolom)lainnya

2. jika susunan baris (kolom)dipertukarkan letaknya ,maka harganyadeterminan akan berubah menjadi negative dari harga determina  semula

3.jika semula elemen satu baris dikalikan k.maka nilai determinan akan menjadi k kali harga determinan semula.kalaupun semua elemen dalam determinan  berdimensi n ×n dikalikan p,maka nilai determinan baru= x

4.harga suatu determinan = 0,kalau:

a. semua elemen satu baris (kolom) =0

b.dua buah baris sama nilai dan susunannya.

c. satu baris (kolom) adalah k kali baris (kolom)lainnya

d. satu baris kolom adalah linear dependent terhadap beberapa baris(kolom)lainnya

5.nilai dari determinen transpose A =  =nilai det A semula

6.nilai dari determinan invers A =  = 1 /

7. jika A matriks berdimensi n× n dan determinannya =p,maka harga determinan dari matriks kofakktor  =

2.perhitungan determinan

Perhitungan determinan digunakan antara lain sebagai berikut.

-.untuk menilai apakah suatu matriks bujur sangkara adalah matriks singular(determinannya=0)ataukah matriks non-sinular

--untuk menghitung nilai invers matriks non singular dengan cara adjoint

- untuk menyelesaikan persamaan linear simultan (pls)degan aturan CHAMER

- menghitung invers matriks A dengan cara adjoint

·         Hitng dulu determinan A, kalau  0, maka invers A tidak ada.

·         Dapatkan matriks kofaktor , misalkan untuk matriks berdemensi 3 x 3 dan  adlah minor dari matriks A mulai dari  maka  dari matriks dimensi 3 x 3 adalah :

   dan  dan invers A =

 ; (kalau benar maka A x

Contoh : hitunglah invers matriks :

Matriks kofaktor

Jadi transpose

Sehingga invers .

= kalau ini benar maka A x

Hasil kali Ax  adalah :

A x x =

Jika hasilnya bukan matriks satuan I, maka harus diperiksa kembali karena pasti ada perhitungan yang salah. Selain cara ADJOINT, invers matriks dapat dihitung dengan cara Gauss-jordan atau dihitung dengan paket program komputer, misalnya dengan MatCad atau dengan MS EXCEL.

F.      Persamaan linier simultan

Persamaan linier simultan(PLS) ialah himpunana persamaan yang mengandung beberapa variable yang hanya berpangkat satu dengan ruas kanan yang constant dan disebut simultan, karena hasil penelesaian variable-variabelnya akan memenuhi semua persamaan, misalnya:

2x + 3y + 5z =135

3x + 4y + 2z =90

X + 5y + 3z =95

Hasil peneyelesaian ini , mungkin ada satu pasang jawaban(x,y,z) yang disebut singlesolution (SS), ungkin akan banyak pasangan jawaban yang memenuhi disebut juga Multi Solution (MS) atau tidak ada jawaban yang memenuhi tau No Solution (NS).

Cara menyelesaikan soal PLS dapat diselesaikan dengan berbagai cara, di SLTP dikenal cara Eliminasi-substitusi, kalau makin banyak persamaan dan variabelnya digunakan cara MATRIKs yakni dengan menggunakan perhitungan matriks dan determinan atau menggunakan operasi ROM (row operation matrikx). Jika menggunakan matriks, maka persamaan diatas diubah dulu menjadi persamaan matriks, yakni

A x V = B =  =

Dimana;

A adalah matriks koeffisien tiap variable dalam persamaan

V adalah kolom (vector kolom) variable

B adalah konstan diruas kanan persamaan

Jika A adalah matriks non-singular yang determinannya  0, maka penyelesainnya PLS ini dapat menggunakan metode CRAMER, yakni  dimana  adalah determinan yang diperoleh dari a dengan mengganti koeffisien variable kolom ke I dengan elemen konstan B; dengan cara ini maka penyelesaian soal ini adalah:

dan =760 s

Sehingga x =

Selain cara cramer, maka soal ini dapat diselesaikan dengan cara invers matriks A, yakni hitung dulu invers A =

V =  x  x

Coba hitung sendiri invers A dengan cara Adjoint

Jika dari persamaanmatriks A.V = B ternyata matriks A adalah matriks singular yakni determinannya = 0 atau A bukan matriks bujur sangkar, maka cara penyelesaiannya harus menggunakan metode GAUSS-JORDAN, yakni dengan cara ROM

1.      Mempertukarkan letak satu baris dengan baris lainnya.

2.      Membagi atau mengalihkan semua elemen satu baris dengan bilangan k  0.

3.      Menambah atau mengurangi semua elemen satu baris dengan k kali elemen baris lainnya.

ROM dilakukan agar pada matriks yang diubah akan terdapat matriks satuan I dibeberapa baris/ kolom bagian kiri matriks semula, yakni degan cara:

Pada matriks yang akan diubah mulai dari kolom pertama melalui ROM elemen  harus diproses menjadi satu dan semula elemen dibawahnya harus diproses menjadi NOL. Selanjutnya dilakukan di kolom kedua dstnya yakni elemen diagonal  diproses menjadi satu sedangkan elemen diatas dan dibawahnya harus diproses menjadi Nol. ROM dipakai untuk :

1.      Mendapatkan invers matriks non-singular dengan mengubah matriks  menjadi :

2.      Menentukan rank suatu matriks.

3.      Menyelesaikan PLS.

Yang dimaksud dengan RANK suatu matriks A ialah angka dimensi satuan I yang diperoleh setelah matriks A di ROM. Jika A berdimensi m x n, maka rank matriks A maksimum sebanyak minimum dari angka m atau n, misalnya kalau A berdimensi 3 x 2 maka rank A maksimum adalah 2 atau hanya 1.

Jika dari persamaan linier simultan : A x v = B dengan n variable dan A adalah matriks singular atau tidak bujur sangkar, maka penyelesaiannya harus dengan cara ROM pada matriks  dan kalau setelah di ROM ternyata:

1.      Rank A = [A | B] < n (n banyaknya variabel), maka solusi PLS akan banyak jawabannya (MS).

2.      Rank  Rank [A | B ], maka solusi PLS akan TIDAK ADA (NS = no solution), yakni susunan persamaan saling bertentangan.

3.      Jika suatu PLS banyaknya persamaan kurang dibandingkan banyaknya variable, maka solusi PLS pasti akan banyak jawaban(single solution), yang juga diselesaikan dengan ROM.

Contoh : selesaikan PLS berikut :

2x + 3y + 5